EDP Sciences Journals List
Issue J. Physique Lett.
Volume 43, Number 17, septembre 1982
Page(s) 625 - 631
DOI http://dx.doi.org/10.1051/jphyslet:019820043017062500

J. Physique Lett. 43, 625-631 (1982)
DOI: 10.1051/jphyslet:019820043017062500

Density of states on fractals : « fractons »

S. Alexander1 et R. Orbach2

1  The Racah Institute, The Hebrew University, Jerusalem, Israel
2  Ecole Supérieure de Physique et de Chimie Industrielles de la Ville de Paris, 10, rue Vauquelin, 75231 Paris Cedex 05, France


Abstract
The density of states on a fractal is calculated taking into account the scaling properties of both the volume and the connectivity. We use a Green's function method developed elsewhere which utilizes a relationship to the diffusion problem. It is found that proper mode counting requires a reciprocal space with new intrinsic fracton dimensionality d = 2 d/(2 + δ). Here, d is the effective dimensionality, and δ the exponent giving the dependence of the diffusion constant on distance. For example, we find for percolation clusters d = 4/3 within the numerical accuracy available, independent of the Euclidean dimensionality d. Crossover to normal behaviour at low frequencies is discussed for finite fractals and for percolation above the percolation threshold pc. Relevance to experimental results on proteins is also discussed.


Résumé
Nous calculons la densité d'états sur un fractal en tenant compte des propriétés d'échelles pour le volume et la connectivité. Nous utilisons la méthode de Green développée par ailleurs, qui utilise une relation au problème de diffusion. Nous avons trouvé que, pour compter les modes correctement, on doit avoir un espace réciproque avec une nouvelle dimensionnalité de fracton d = 2d/(2 + δ). Ici, d est la dimension effective, et δ est l'exposant que caractérise la variation de la constante de diffusion avec la distance. Par exemple, nous trouvons pour les amas de percolation, d = 4/3, quelle que soit la dimensionnalité Euclidienne d à la précision numérique disponible. Nous discutons le « crossover » vers un comportement normal aux basses fréquences pour des fractals finis, et pour la percolation au-dessus du seuil de percolation pc. Nous examinons aussi la pertinence de nos prédictions en les confrontant à des résultats expérimentaux sur les protéines.

PACS
0550 - Lattice theory and statistics: Ising problems.

Key words
Green's function methods -- lattice theory and statistics -- percolation -- density of states -- fractal -- scaling properties -- volume -- connectivity -- Green's function method -- diffusion -- fracton dimensionality -- percolation clusters -- proteins