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The danger of iteration methods

Abstract
When a Hamiltonian K depends on variables φi, the values of these variables which minimize K satisfy the equations ∂K/∂φ i = 0. If this set of equations is solved by iteration, there is no guarantee that the solution is the one which minimizes K. In the case of a harmonic system with a random potential periodic with respect to the φ i's, the fluctuations have been calculated by Efetov and Larkin by means of the iteration method. The result is wrong in the case of a strong disorder. Even in the weak disorder case, it is wrong for a one-dimensional system and for a finite system of 2 particles. It is argued that the results obtained by iteration are always wrong, and that between 2 and 4 dimensions, spin-pair correlation functions decay like powers of the distance, as found by Aharony and Pytte for another model.

Résumé
Si un hamiltonien K dépend de variables φi, les valeurs des variables qui le minimisent vérifient les équations ∂K/∂φ i = 0. Si on résoud ce système d'équations par itération, il n'y a aucune raison pour que la solution obtenue soit celle qui minimise K. Dans le cas d'un système harmonique dans un potentiel périodique par rapport aux φ i, les fluctuations ont été calculées par Efetov et Larkin par la méthode d'itération. Le résultat est faux dans le cas d'un désordre fort. Même pour un désordre faible, il est faux pour un système unidimensionnel et pour un système fini de 2 particules. Nous suggérons que les résultats obtenus par itération sont faux dans tous les cas, et que, entre 2 et 4 dimensions, les fonctions de corrélation de paire de spins décroissent comme une puissance de la distance, en accord avec le résultat obtenu pour un autre modèle par Aharony et Pytte.