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Degeneracy of the crystal states and departure from the rigid band model for a strongly localized impurity

Abstract
A standard perturbation calculation is performed for a set of q degenerate states whose perturbation is a strongly localized impurity. The free-electron approximation and the LCAO approximation for the electron states are considered. The calculation which seems not to have been done before shows that there is precisely no change in the energy for q - 1 states but a strong shift of energy for one state. This effect is fully independent of the size of the perturbation potential providing the perturbation calculation is applicable. At the same time the wave function corresponding to the shifted state is not a damped state but a simple superposition of the unperturbed band states. For a crystal having a spherical shape it can be shown that the charge distribution of the shifted state has an oscillatory decrease with the distance from the position of the impurity.

Résumé
Un calcul de perturbation standard est effectué pour un ensemble de q états dégénérés perturbés par une impureté fortement localisée. L'approximation des électrons libres et celle des combinaisons linéaires d'orbitales atomiques sont considérées. Le calcul montre qu'un des états est fortement perturbé en énergie, tandis que les q - 1 autres ne le sont pas. L'effet est indépendant de la taille du potentiel perturbateur si le calcul de perturbation est applicable. L'état déplacé n'est pas localisé mais est une combinaison d'états de bande non perturbés. Pour un cristal de forme sphérique, la distribution de charge de l'état déplacé décroît de façon oscillante avec la distance à l'impureté.