J. Physique Lett. 45, 833-841 (1984)
DOI: 10.1051/jphyslet:019840045017083300

Pole condensation and the Riemann surface associated with a shock in Burgers' equation

D. Bessis¹ et J.D. Fournier<sup>2

1</sup>  Service de Physique Théorique, CEN Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex, France
²  Observatoire, Mont-Gros, BP 139, 06003 Nice Cedex, France

Abstract
Using a paradigmatic initial condition, we completely analyse the spatial analytic structure of Burgers velocity field and its dependence on time t and viscosity v. The viscous solution has an infinite number of complex poles appearing suddenly at t = 0+. When v ↓ 0 these poles condense on Stokes lines giving rise to the inviscid singularities ; the 3-sheeted Riemann surface associated with the latter provides an analytic path across the jump of the shock.

Résumé
Pour une condition initiale paradigmatique, nous analysons complètement la structure analytique du champ de vitesses, solution de l'équation de Burgers, en fonction du temps t, et de la viscosité v. La solution visqueuse a un nombre infini de pôles complexes qui apparaissent soudainement à t = 0+ ; quand v ↓ 0, leur condensation sur les lignes de Stokes donne naissance aux singularités inviscides ; la surface de Riemann à 3 feuillets associée à ces dernières permet un franchissement analytique du saut du choc.

PACS
0340G - Fluid dynamics: general mathematical aspects.
4740N - Shock wave interactions.

Key words
fluid dynamics -- shock waves -- pole condensation -- Riemann surface -- Burger's equation -- paradigmatic initial condition -- spatial analytic structure -- Burgers velocity field -- viscosity -- complex poles -- Stokes lines -- inviscid singularities -- shock