J. Physique Lett. 46, 659-666 (1985)
DOI: 10.1051/jphyslet:019850046015065900

Hard rods on lattices

A. Baumgärtner

Institut für Festkörperforschung der Kernforschungsanlage Jülich, D-5170 Jülich, F.R.G

Abstract
Exact calculations and enumerations of systems of hard rigid rods distributed at closed packed density on L x L square lattices, where each rod occupies N < L nearest neighbour lattice sites, have been performed. In contrast to mean-field theories our results though restricted to finite L and N provide evidence against long-range orientational order : the absolute magnitude of the orientational order parameter is < | s | > ≤ 11/36 for L/N > 2 and decreases continuously with increasing size of the system L/N for all N. The entropy per rod of our systems behaves as SN ∝ N -1 × In N as N → ∞. Hard rods on cubic lattices are also briefly considered. Some implications of our results are discussed with respect to liquid crystals, polymeric liquid crystals and current theories of polymer melting.

Résumé
Ce travail présente des calculs exacts et des résultats d'énumération pour des barres rigides distribuées à densité maximale sur des réseaux carrés L x L. Chaque barre occupe N < L sites voisins. Contrairement aux théories de champ moyen, nos calculs - bien que restreints à des valeurs finies de L et de N - permettent d'éliminer l'existence d'un ordre orientationnel à longue distance : en effet la valeur absolue du paramètre d'ordre orientationnel est < | s | > ≤ 11/36 pour L/N > 2 et déeroît continûment pour tout N lorsque le rapport L/N augmente. L'entropie par barre de nos systèmes se comporte comme SN ∝ N-1 ln N lorsque N → ∞. Les barres rigides sur des réseaux cubiques sont aussi brièvement discutées. Nous discutons quelques implications de nos résultats sur la physique des cristaux liquides, des cristaux liquides polymériques et sur les théories actuelles de la fusion des polymères.

PACS
0550 - Lattice theory and statistics: Ising problems.
0570C - Thermodynamic functions and equations of state.
6125H - Structure of macromolecular and polymer solutions solubility, swelling, etc.: polymer melts.
6130 - Liquid crystals.
6470D - Solid liquid transitions.

Key words
entropy -- lattice theory and statistics -- liquid crystal polymers -- liquid crystals -- long range order -- melting -- polymers -- rod entropy -- hard rigid rods -- closed packed density -- L* L square lattices -- long range orientational order -- orientational order parameter -- cubic lattices -- polymorphic liquid crystals -- polymer melting