Numéro
J. Physique Lett.
Volume 44, Numéro 1, janvier 1983
Page(s) 13 - 22
DOI https://doi.org/10.1051/jphyslet:0198300440101300
J. Physique Lett. 44, 13-22 (1983)
DOI: 10.1051/jphyslet:0198300440101300

Random walks on fractal structures and percolation clusters

R. Rammal et G. Toulouse

Laboratoire de Physique de l'Ecole Normale Supérieure, 24, rue Lhomond, 75231 Paris Cedex 05, France


Abstract
The notion of spectral dimensionality of a self-similar (fractal) structure is recalled, and its value for the family of Sierpinski gaskets derived via a scaling argument. Various random walk properties such as the probability of closed walks and the mean number of visited sites are shown to be governed by this spectral dimension. It is suggested that the number SN of distinct sites visited during an N-step random walk on an infinite cluster at percolation threshold varies asymptotically as : SN ˜ N2/3, in any dimension.


Résumé
La notion de dimension spectrale d'une structure self-similaire (fractale) est rappelée, et sa valeur pour la famille des tamis de Sierpinski dérivée à partir d'un argument d'échelle. On montre que diverses propriétés de marche aléatoire telles que la probabilité de marches fermées et le nombre moyen de sites visités sont gouvernés par cette dimension spectrale. On suggère que le nombre SN de sites distincts visités pendant une marche aléatoire de N pas sur un amas infini au seuil de percolation varie asymptotiquement comme S N ˜ N2/3, en toute dimension.

PACS
0540 - Fluctuation phenomena, random processes, and Brownian motion.

Key words
percolation -- random processes -- fractal structures -- percolation clusters -- spectral dimensionality -- Sierpinski gaskets -- scaling argument -- random walk -- closed walks -- infinite cluster -- percolation threshold