J. Physique Lett. 44, 977-982 (1983)
DOI: 10.1051/jphyslet:019830044024097700

Complex spectral dimensionality on fractal structures

D. Bessis, J.S. Geronimo et P. Moussa

Service de Physique Théorique, Centre d'Etudes Nucléaires de Saclay, 91191 Gif sur Yvette Cedex, France

Abstract
Fractal structures have been associated with scaling properties of many physical systems. On the basis of a solvable model, it is asserted that the above analogy leads in a natural way to complex indices, for instance, in the power law describing the density of states. The corresponding oscillations are, in fact, necessary to reproduce the singular part of the spectrum, and are governed by the nearest complex singularities of the Mellin transform of the spectral density. Observation of such oscillations in actual systems might allow the effective fractal dimension of the involved structure to be determined.

Résumé
Dans de nombreux problèmes physiques, on associe les propriétés d'invariance d'échelle à l'apparition de structures fractales. Dans le cas d'un modèle soluble, on montre que l'analogie précédente conduit à considérer des indices complexes, par exemple dans les lois de puissance représentant la densité d'état. Les oscillations correspondantes sont nécessaires pour reproduire la partie singulière du spectre, et sont gouvernées par les singularités les plus proches de la transformée de Mellin de la densité d'état. L'observation de telles oscillations dans des systèmes réels pourrait permettre de déterminer la dimension fractale effective des structures impliquées.

PACS
0520 - Statistical mechanics.
0550 - Lattice theory and statistics: Ising problems.

Key words
lattice theory and statistics -- statistical mechanics -- complex spectral dimensionality -- fractal structures -- scaling properties -- power law -- density of states -- oscillations -- complex singularities -- Mellin transform -- spectral density