J. Physique Lett. 45, 1015-1022 (1984)
DOI: 10.1051/jphyslet:0198400450210101500

Spectral properties of the Laplacian and random matrix theories

O. Bohigas, M.J. Giannoni et C. Schmit

Division de Physique Théorique, Institut de Physique Nucléaire, B.P. N° 1, 91406 Orsay Cedex, France

Abstract
We investigate the fluctuation properties of the eigenvalues of the Laplacian in two dimensions with Dirichlet boundary conditions on a stadium. They are found to be consistent with the fluctuations of eigenvalues of random matrices (GOE). It is conjectured that this is true for any boundary such that the motion of a free particle elastically reflected by the boundary is a strongly chaotic motion.

Résumé
Nous étudions les propriétés de fluctuation des valeurs propres du Laplacien à deux dimensions avec des conditions aux limites de Dirichlet sur un stade. Elles sont consistantes avec les fluctuations des valeurs propres de matrices aléatoires (GOE). Nous faisons la conjecture que ceci est vrai en général, pourvu que la frontière soit telle que le mouvement d'une particule libre réfléchie élastiquement par la frontière (billard) soit un mouvement très chaotique.

PACS
0365G - Solutions of wave equations: bound state in quantum theory.
0540 - Fluctuation phenomena, random processes, and Brownian motion.
0545 - Theory and models of chaotic systems.

Key words
chaos -- quantum theory -- random processes -- elastic reflection -- Laplacian -- random matrix theories -- fluctuation properties -- eigenvalues -- Dirichlet boundary conditions -- stadium -- chaotic motion